【2019-2020学年高中数学新教材人教版A必修第二册学案:6.4.3(第三】一、教学目标
1. 理解平面向量的数量积的定义及其几何意义。
2. 掌握向量数量积的运算规则及性质。
3. 能够运用数量积解决实际问题，如求夹角、判断垂直等。
4. 提高逻辑思维能力与数学建模意识。
二、重点与难点
- 重点：向量数量积的定义、计算公式及应用。
- 难点：数量积的几何意义的理解与灵活运用。
三、知识回顾
在学习本节内容之前，我们已经掌握了以下基础知识：
- 向量的基本概念（包括向量的表示、模、方向等）；
- 向量的加法、减法与数乘运算；
- 向量的坐标表示及运算方法。
这些内容为理解数量积奠定了基础。
四、新知讲解
1. 数量积的定义
设两个非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，它们的夹角为 $\theta$，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的数量积（也称点积）定义为：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\theta
$$
其中：
- $|\vec{a}|$ 表示向量 $\vec{a}$ 的模；
- $\theta$ 是 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角（范围：$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$）。
> 注意：数量积的结果是一个标量，不是向量。
2. 数量积的几何意义
从几何上看，$\vec{a} \cdot \vec{b}$ 可以看作是向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影长度乘以 $|\vec{b}|$，即：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot \text{proj}_{\vec{b}} \vec{a}
$$
或者：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{b}| \cdot \text{proj}_{\vec{a}} \vec{b}
$$
这有助于我们理解向量之间的“夹角”和“方向关系”。
3. 数量积的代数形式
若向量 $\vec{a} = (x_1, y_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2)$，则它们的数量积为：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2
$$
这个公式便于我们在坐标系中进行计算。
4. 数量积的性质
1. 交换律：$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
2. 分配律：$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$
3. 数乘结合律：$(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$
4. 正交性：若 $\vec{a} \perp \vec{b}$，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
五、典型例题解析
例题1：已知向量 $\vec{a} = (2, 3)$，$\vec{b} = (-1, 4)$，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$。
解：根据数量积的代数公式：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times (-1) + 3 \times 4 = -2 + 12 = 10
$$
答：$\vec{a} \cdot \vec{b} = 10$
例题2：已知 $|\vec{a}| = 5$，$|\vec{b}| = 3$，且夹角为 $60^\circ$，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$。
解：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \times 3 \times \cos 60^\circ = 15 \times \frac{1}{2} = 7.5
$$
答：$\vec{a} \cdot \vec{b} = 7.5$
六、课堂练习
1. 已知 $\vec{a} = (1, -2)$，$\vec{b} = (3, 4)$，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$。
2. 若 $\vec{a} = (4, 0)$，$\vec{b} = (0, -5)$，试判断 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 是否垂直。
3. 已知 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$，说明什么？
七、小结
通过本节课的学习，我们了解了向量数量积的定义、计算方法及其几何意义，掌握了其在实际问题中的应用。数量积不仅是向量运算的重要工具，也是解决几何问题的关键手段之一。
八、课后作业
1. 教材第105页习题6.4第3题。
2. 完成《同步练习》P45相关题目。
3. 思考题：若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$，是否一定有 $\vec{a} \perp \vec{b}$？为什么？
九、拓展阅读（选做）
- 向量在物理中的应用（如力的功、速度分解等）。
- 向量在计算机图形学中的作用。
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备注：本学案旨在帮助学生系统掌握知识点，提高解题能力，建议配合课本与练习题进行巩固复习。
