【高数微积分公式大全】在高等数学的学习中，微积分是核心内容之一，涵盖了导数、积分、极限、级数等多个重要知识点。掌握这些基本公式对于理解和解决实际问题至关重要。以下是对高数中常见微积分公式的系统总结，便于复习和查阅。
一、基本导数公式
| 函数 | 导数 |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、基本积分公式
| 函数 | 积分 | ||
| $ \int dx $ | $ x + C $ | ||
| $ \int x^n dx $（n ≠ -1） | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ | ||
| $ \int \sin x dx $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \int \cos x dx $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ \int e^x dx $ | $ e^x + C $ | ||
| $ \int \frac{1}{x} dx $ | $ \ln | x | + C $ |
| $ \int a^x dx $（a>0, a≠1） | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $ | ||
| $ \int \frac{1}{x^2 + a^2} dx $ | $ \frac{1}{a} \arctan \left( \frac{x}{a} \right) + C $ |
三、常用积分技巧
| 方法 | 公式/说明 |
| 换元积分法 | $ \int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u) du $（令 $ u = g(x) $） |
| 分部积分法 | $ \int u dv = uv - \int v du $ |
| 有理函数分解 | 将复杂分数拆解为简单部分进行积分 |
| 三角代换 | 用于处理含根号的表达式，如 $ \sqrt{a^2 - x^2} $ 等 |
四、不定积分与定积分的关系
- 不定积分：表示一个函数的所有原函数，形式为 $ \int f(x) dx = F(x) + C $
- 定积分：表示函数在区间 [a, b] 上的面积，形式为 $ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) $
五、牛顿-莱布尼兹公式
$$
\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
$$
其中 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数。
六、常见特殊积分
| 积分 | 结果 | ||
| $ \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx $ | $ \arcsin \left( \frac{x}{a} \right) + C $ | ||
| $ \int \frac{1}{a^2 + x^2} dx $ | $ \frac{1}{a} \arctan \left( \frac{x}{a} \right) + C $ | ||
| $ \int \frac{1}{x \sqrt{x^2 - a^2}} dx $ | $ \frac{1}{a} \text{arcsec} \left( \frac{ | x | }{a} \right) + C $ |
七、微积分基本定理
1. 如果 $ f(x) $ 在 [a, b] 上连续，则 $ F(x) = \int_a^x f(t) dt $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数。
2. 若 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数，则 $ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) $。
八、泰勒展开与麦克劳林展开
- 泰勒展开（以 $ x_0 $ 为中心）：
$$
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n
$$
- 麦克劳林展开（以 0 为中心）：
$$
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
$$
九、常用函数的泰勒展开
| 函数 | 泰勒展开 | ||
| $ e^x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $ | ||
| $ \sin x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} $ | ||
| $ \ln(1+x) $（ | x | < 1） | $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} $ |
十、微积分应用举例
- 求面积：由曲线 $ y = f(x) $、直线 $ x = a $、$ x = b $ 和 x 轴围成的面积为 $ \int_a^b
- 求体积：旋转体体积公式（如绕 x 轴）：$ V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx $
- 求弧长：曲线 $ y = f(x) $ 在 [a, b] 上的弧长为 $ \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx $
通过以上总结，可以系统地掌握高数中的微积分基础知识与常用公式，有助于提高解题效率和理解深度。建议结合练习题反复巩固，加深记忆。
以上就是【高数微积分公式大全】相关内容，希望对您有所帮助。
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