【多元函数的极值公式】在数学中，研究多元函数的极值问题是优化问题的重要组成部分。与一元函数相比，多元函数的极值不仅涉及函数的导数，还需要考虑偏导数、海森矩阵等复杂概念。本文将对多元函数极值的相关公式进行总结，并通过表格形式展示其关键内容。

一、多元函数极值的基本概念

对于一个二元或更多元的可微函数 $ f(x_1, x_2, \ldots, x_n) $，我们通常关注其局部极大值和局部极小值。这些极值点称为临界点（critical points），它们是函数梯度为零的点。

二、极值存在的条件

1. 必要条件（驻点）

设函数 $ f(x_1, x_2, \ldots, x_n) $ 在点 $ (x_0^1, x_0^2, \ldots, x_0^n) $ 处可微，则该点为极值点的必要条件是：

$$

\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0^1, x_0^2, \ldots, x_0^n) = 0 \quad (i=1,2,\ldots,n)

$$

即所有偏导数在该点为零。

2. 充分条件（海森矩阵）

若函数在某点处的二阶偏导数存在且连续，则可以通过海森矩阵（Hessian matrix）判断该点是否为极值点。

- 若海森矩阵正定，则该点为局部极小值点；

- 若海森矩阵负定，则该点为局部极大值点；

- 若海森矩阵不定（既有正特征值也有负特征值），则该点为鞍点。

三、极值计算公式汇总

\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} \\

\vdots & \ddots & \vdots \\

\frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}

\end{bmatrix} $ 判断极值类型的工具

四、应用实例（以二元函数为例）

考虑函数 $ f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 $

1. 求一阶偏导数：

$$

f_x = 2x - 2, \quad f_y = 2y - 4

$$

2. 解方程组 $ f_x = 0, f_y = 0 $，得临界点 $ (1, 2) $

3. 计算二阶偏导数：

$$

f_{xx} = 2, \quad f_{xy} = 0, \quad f_{yy} = 2

$$

4. 构造海森矩阵：

$$

H = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}

$$

5. 判断：由于 $ \text{det}(H) = 4 > 0 $，且 $ f_{xx} = 2 > 0 $，所以 $ (1, 2) $ 是局部极小值点。

五、总结

多元函数的极值分析依赖于偏导数和海森矩阵的计算。通过求解一阶偏导数为零的点，再利用二阶导数判断其性质，可以有效地识别函数的极值点。掌握这些公式和方法，有助于解决实际中的最优化问题。

注： 本文内容基于标准数学理论，适用于大学数学课程及工程优化问题中的基础分析。

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