【材料力学必背公式总结】材料力学是机械、土木、航空航天等工程专业的重要基础课程，掌握关键公式对于理解构件的受力行为、变形规律和强度分析至关重要。以下是对材料力学中常用公式的系统总结，便于复习与记忆。
一、基本概念与应力应变关系
| 公式 | 说明 |
| $ \sigma = \frac{F}{A} $ | 轴向拉压应力公式，F为轴向力，A为横截面积 |
| $ \varepsilon = \frac{\Delta L}{L} $ | 线应变，ΔL为长度变化，L为原始长度 |
| $ \sigma = E \varepsilon $ | 胡克定律，E为弹性模量 |
| $ \tau = \frac{T r}{J} $ | 圆轴扭转切应力公式，T为扭矩，r为半径，J为极惯性矩 |
| $ \gamma = \frac{\tau}{G} $ | 切应变与切应力的关系，G为剪切模量 |
二、杆件内力与应力分析
| 公式 | 说明 |
| $ N(x) = \sum F_{\text{外}} $ | 轴力方程，N(x)为横截面内力 |
| $ M(x) = \sum M_{\text{外}} $ | 弯矩方程 |
| $ Q(x) = \sum F_{\text{横向}} $ | 剪力方程 |
| $ \sigma_{\text{max}} = \frac{M y}{I} $ | 梁的最大弯曲正应力，y为截面到中性轴的距离，I为惯性矩 |
| $ \tau_{\text{max}} = \frac{Q S_z}{I b} $ | 横截面上最大剪应力，S_z为静矩，b为截面宽度 |
三、梁的弯曲与挠度计算
| 公式 | 说明 |
| $ EI \frac{d^2 v}{dx^2} = M(x) $ | 梁的挠曲线微分方程 |
| $ v(x) = \int \int \frac{M(x)}{EI} dx^2 + C_1 x + C_2 $ | 挠度计算通式 |
| $ \theta(x) = \int \frac{M(x)}{EI} dx + C_1 $ | 转角计算通式 |
| $ \delta = \frac{PL^3}{3EI} $ | 简支梁跨中集中载荷下的挠度 |
| $ \theta = \frac{PL^2}{2EI} $ | 简支梁跨中集中载荷下的转角 |
四、组合变形与强度校核
| 公式 | 说明 |
| $ \sigma_{\text{总}} = \sigma_{\text{轴}} + \sigma_{\text{弯}} $ | 组合变形下的正应力 |
| $ \tau_{\text{总}} = \tau_{\text{剪}} + \tau_{\text{扭}} $ | 组合变形下的切应力 |
| $ \sigma_{\text{eq}} = \sqrt{\sigma^2 + 3\tau^2} $ | 第三强度理论（最大剪应力理论）等效应力 |
| $ \sigma_{\text{eq}} = \sqrt{\frac{(\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2}{2}} $ | 第四强度理论（形状改变能密度理论）等效应力 |
五、压杆稳定计算
| 公式 | 说明 |
| $ P_{\text{cr}} = \frac{\pi^2 E I}{(KL)^2} $ | 欧拉临界载荷公式，K为长度系数，L为杆长 |
| $ \lambda = \frac{KL}{i} $ | 长细比，i为截面回转半径 |
| $ \sigma_{\text{cr}} = \frac{\pi^2 E}{\lambda^2} $ | 临界应力公式（适用于细长杆） |
| $ \sigma_{\text{cr}} = \frac{a - b \lambda}{\lambda} $ | 临界应力经验公式（适用于中长杆） |
六、能量法与位移计算
| 公式 | 说明 |
| $ U = \int_0^L \frac{M^2}{2EI} dx $ | 梁的弯曲应变能 |
| $ \delta = \int_0^L \frac{M M'}{EI} dx $ | 用单位载荷法求位移 |
| $ \theta = \int_0^L \frac{M M'}{EI} dx $ | 用单位载荷法求转角 |
| $ \delta = \frac{FL}{AE} $ | 轴向拉伸或压缩的位移公式 |
七、常见截面几何性质
| 截面类型 | 惯性矩 $ I $ | 截面模量 $ W $ | 回转半径 $ i $ |
| 实心圆轴 | $ \frac{\pi d^4}{64} $ | $ \frac{\pi d^3}{32} $ | $ \frac{d}{4} $ |
| 空心圆轴 | $ \frac{\pi (D^4 - d^4)}{64} $ | $ \frac{\pi (D^4 - d^4)}{32 D} $ | $ \frac{\sqrt{D^2 + d^2}}{4} $ |
| 矩形截面 | $ \frac{bh^3}{12} $ | $ \frac{bh^2}{6} $ | $ \frac{h}{\sqrt{12}} $ |
总结
材料力学的核心在于对构件在不同载荷作用下的应力、应变、变形和稳定性进行分析。上述公式涵盖了从简单拉压、弯曲、扭转到复杂组合变形和稳定性问题的计算方法，是学习材料力学时必须掌握的基本内容。建议结合例题反复练习，加深理解与应用能力。
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