【泊松分布的最大似然函数】在统计学中，最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）是一种常用的参数估计方法。对于泊松分布来说，最大似然估计可以帮助我们从样本数据中推断出该分布的参数 λ 的最佳估计值。
一、泊松分布简介
泊松分布是一种离散概率分布，常用于描述单位时间内随机事件发生的次数。其概率质量函数为：
$$
P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}, \quad x = 0, 1, 2, \dots
$$
其中，λ 是分布的参数，表示单位时间或空间内事件的平均发生次数。
二、最大似然函数的定义
给定一组独立同分布的样本 $ X_1, X_2, \dots, X_n $，来自泊松分布，其概率密度函数为：
$$
f(x_i; \lambda) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x_i}}{x_i!}
$$
则联合概率密度函数（即似然函数）为：
$$
L(\lambda) = \prod_{i=1}^n f(x_i; \lambda) = \prod_{i=1}^n \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x_i}}{x_i!}
$$
将其简化为：
$$
L(\lambda) = e^{-n\lambda} \cdot \lambda^{\sum_{i=1}^n x_i} \cdot \prod_{i=1}^n \frac{1}{x_i!}
$$
为了便于求导，通常取对数似然函数：
$$
\ell(\lambda) = \ln L(\lambda) = -n\lambda + \left( \sum_{i=1}^n x_i \right) \ln \lambda - \sum_{i=1}^n \ln(x_i!)
$$
三、最大似然估计的求解
对对数似然函数 $\ell(\lambda)$ 关于 $\lambda$ 求导，并令导数为零：
$$
\frac{d\ell}{d\lambda} = -n + \frac{1}{\lambda} \sum_{i=1}^n x_i = 0
$$
解得：
$$
\hat{\lambda} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i
$$
这表明，泊松分布的参数 λ 的最大似然估计就是样本均值。
四、总结与表格展示
| 内容项 | 说明 |
| 分布名称 | 泊松分布 |
| 参数 | λ（事件发生的平均次数） |
| 概率质量函数 | $ P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!} $ |
| 似然函数 | $ L(\lambda) = e^{-n\lambda} \cdot \lambda^{\sum x_i} \cdot \prod \frac{1}{x_i!} $ |
| 对数似然函数 | $ \ell(\lambda) = -n\lambda + (\sum x_i)\ln \lambda - \sum \ln(x_i!) $ |
| 最大似然估计 | $ \hat{\lambda} = \frac{1}{n} \sum x_i $ |
五、结论
通过最大似然方法，我们可以从观测数据中得到泊松分布参数 λ 的最优估计。这一方法简单有效，且在实际应用中广泛使用。理解最大似然函数的构造和求解过程，有助于更好地掌握统计推断的基本思想。
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