【八年级下数学压轴题及答案-20220220074923】在初中数学的学习过程中，八年级下册的课程内容逐渐加深，尤其是几何与代数的结合部分，常常成为学生学习的难点。其中，压轴题作为试卷中最具挑战性的题目，不仅考查学生的综合运用能力，还对逻辑思维和解题技巧有较高要求。
本文将围绕“八年级下数学压轴题及答案-20220220074923”这一主题，深入解析一道典型的压轴题，并提供详细的解答过程，帮助同学们更好地理解这类题目的解题思路与方法。
一、题目回顾
题目：
已知一次函数 $ y = kx + b $ 的图像经过点 $ A(1, 5) $ 和点 $ B(-2, -1) $，且该直线与抛物线 $ y = x^2 + 2x - 3 $ 相交于两点，求这两点的坐标，并计算这两个交点之间的距离。
二、解题思路
第一步：求一次函数的解析式
由于直线经过点 $ A(1, 5) $ 和 $ B(-2, -1) $，我们可以利用两点法求出斜率 $ k $：
$$
k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - 5}{-2 - 1} = \frac{-6}{-3} = 2
$$
再代入点 $ A(1, 5) $ 求截距 $ b $：
$$
5 = 2 \times 1 + b \Rightarrow b = 3
$$
因此，一次函数的解析式为：
$$
y = 2x + 3
$$
第二步：求直线与抛物线的交点
将一次函数代入抛物线方程：
$$
2x + 3 = x^2 + 2x - 3
$$
整理得：
$$
x^2 + 2x - 3 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow x^2 - 6 = 0
$$
解这个方程：
$$
x^2 = 6 \Rightarrow x = \sqrt{6} \quad \text{或} \quad x = -\sqrt{6}
$$
对应的 $ y $ 值为：
当 $ x = \sqrt{6} $ 时，$ y = 2\sqrt{6} + 3 $
当 $ x = -\sqrt{6} $ 时，$ y = -2\sqrt{6} + 3 $
所以，两个交点的坐标分别为：
$$
P(\sqrt{6}, 2\sqrt{6} + 3), \quad Q(-\sqrt{6}, -2\sqrt{6} + 3)
$$
第三步：计算两点之间的距离
使用两点间距离公式：
$$
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
$$
代入数值：
$$
d = \sqrt{(-\sqrt{6} - \sqrt{6})^2 + [(-2\sqrt{6} + 3) - (2\sqrt{6} + 3)]^2}
$$
化简：
$$
= \sqrt{(-2\sqrt{6})^2 + (-4\sqrt{6})^2} = \sqrt{24 + 96} = \sqrt{120} = 2\sqrt{30}
$$
三、总结
本题是一道典型的几何与代数结合的压轴题，考查了学生对一次函数、二次函数的理解，以及如何通过联立方程求解交点并计算距离的能力。通过逐步分析，可以清晰地看到每一步的逻辑推导，有助于提升解题效率与准确性。
关键词： 八年级下数学压轴题、一次函数、抛物线、交点、距离计算
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