【最优控制习题及参考答案解析x】在现代控制理论中，最优控制是一个非常重要的研究方向，它主要研究如何在满足系统约束的前提下，设计出使性能指标达到最优的控制策略。为了帮助学习者更好地掌握最优控制的基本概念和解题方法，本文将提供一些典型的习题，并附上详细的解答过程与分析。
一、习题1：线性二次型最优控制问题
题目：
考虑一个单输入线性系统：
$$
\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)
$$
其中，状态变量为 $ x(t) \in \mathbb{R}^n $，控制输入为 $ u(t) \in \mathbb{R} $，矩阵 $ A \in \mathbb{R}^{n \times n} $，$ B \in \mathbb{R}^{n \times 1} $。目标是使如下性能指标最小化：
$$
J = \int_0^T \left( x^T Q x + u^T R u \right) dt
$$
其中，$ Q \in \mathbb{R}^{n \times n} $ 是半正定矩阵，$ R \in \mathbb{R}^{1 \times 1} $ 是正定常数。
请推导该系统的最优控制律，并说明其物理意义。
参考答案解析：
该问题是典型的线性二次型（LQR）最优控制问题。根据动态规划原理，最优控制律可以通过求解黎卡提方程得到。
1. 假设最优控制为：
$$
u^(t) = -Kx(t)
$$
其中，$ K $ 是反馈增益矩阵，待求。
2. 将控制律代入状态方程：
$$
\dot{x}(t) = (A - BK)x(t)
$$
3. 构造价值函数 $ V(x) = x^T P x $，其中 $ P $ 是对称正定矩阵。
根据HJB方程，可得：
$$
\frac{\partial V}{\partial t} + \min_u \left[ \frac{\partial V}{\partial x} (Ax + Bu) + x^T Q x + u^T R u \right] = 0
$$
由于系统是时不变的，且目标是有限时间区间，因此可以假设 $ V(x) = x^T P x $，代入后整理得：
$$
x^T (A^T P + PA - PBR^{-1}B^T P + Q)x = 0
$$
由此可得黎卡提方程：
$$
A^T P + PA - PBR^{-1}B^T P + Q = 0
$$
解此方程即可得到矩阵 $ P $，从而计算出反馈增益矩阵：
$$
K = R^{-1} B^T P
$$
二、习题2：变分法在最优控制中的应用
题目：
考虑一个连续时间系统：
$$
\dot{x}(t) = f(x(t), u(t))
$$
初始状态为 $ x(0) = x_0 $，终端时间为 $ T $。目标是选择控制 $ u(t) $ 使得性能指标：
$$
J = \int_0^T L(x(t), u(t)) dt + \phi(x(T))
$$
取得极小值。请使用变分法推导出最优控制条件，并解释其物理意义。
参考答案解析：
本题涉及变分法在最优控制中的应用，即通过引入拉格朗日乘子，构造哈密顿函数来求解最优控制问题。
1. 构造哈密顿函数：
$$
H(x, u, p) = L(x, u) + p^T f(x, u)
$$
其中，$ p(t) $ 是伴随变量（或称为共态变量）。
2. 根据变分法原理，最优控制应满足：
- 状态方程：
$$
\dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p}
$$
- 伴随方程：
$$
\dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial x}
$$
- 最优控制条件：
$$
\frac{\partial H}{\partial u} = 0
$$
即：
$$
\frac{\partial L}{\partial u} + p^T \frac{\partial f}{\partial u} = 0
$$
3. 物理意义：
- 状态方程描述了系统随时间的变化；
- 伴随方程反映了性能指标对状态的影响；
- 最优控制条件决定了在每个时刻应采取的控制策略，以使整体性能最优。
三、总结
最优控制问题涉及多个数学工具，包括微分方程、矩阵代数、变分法等。通过上述两个典型例题，我们可以看到最优控制的核心思想是：在满足系统动态约束的前提下，寻找使性能指标达到极值的控制策略。对于初学者而言，掌握这些基本方法并结合实际例子进行练习，是非常重要的学习路径。
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