【长郡网校每日一题】今天，我们带来一道来自数学领域的经典题目，旨在锻炼同学们的逻辑思维与解题能力。这道题不仅考查了基础知识的掌握，还考验了灵活运用的能力。
题目：
已知函数 $ f(x) = x^2 + ax + b $ 的图像经过点 $ (1, 0) $ 和 $ (-1, 4) $，求该函数的解析式，并判断其在区间 $[-2, 3]$ 上的最大值和最小值。
解题思路：
首先，根据题目给出的两个点，我们可以列出两个方程：
1. 当 $ x = 1 $ 时，$ f(1) = 1^2 + a \cdot 1 + b = 0 $，即
$$
1 + a + b = 0 \quad \text{（1）}
$$
2. 当 $ x = -1 $ 时，$ f(-1) = (-1)^2 + a \cdot (-1) + b = 4 $，即
$$
1 - a + b = 4 \quad \text{（2）}
$$
接下来，我们联立这两个方程进行求解：
将（1）和（2）相加：
$$
(1 + a + b) + (1 - a + b) = 0 + 4 \\
2 + 2b = 4 \\
2b = 2 \Rightarrow b = 1
$$
将 $ b = 1 $ 代入（1）中：
$$
1 + a + 1 = 0 \Rightarrow a = -2
$$
因此，函数的解析式为：
$$
f(x) = x^2 - 2x + 1
$$
进一步化简可得：
$$
f(x) = (x - 1)^2
$$
这是一个开口向上的抛物线，顶点在 $ x = 1 $ 处，即最小值点。
求最大值与最小值：
由于函数在区间 $[-2, 3]$ 上是连续的，且是一个二次函数，我们只需比较端点与顶点处的函数值即可。
- 当 $ x = -2 $ 时，$ f(-2) = (-2 - 1)^2 = 9 $
- 当 $ x = 3 $ 时，$ f(3) = (3 - 1)^2 = 4 $
- 当 $ x = 1 $ 时，$ f(1) = 0 $
所以，在区间 $[-2, 3]$ 上：
- 最大值为 $ 9 $，出现在 $ x = -2 $ 处；
- 最小值为 $ 0 $，出现在 $ x = 1 $ 处。
总结：
通过本题，我们不仅复习了二次函数的基本性质，还学会了如何利用已知点求函数解析式，并结合区间的端点和顶点来确定最值。这类题目在考试中常见，建议同学们多加练习，提高解题速度和准确率。
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