【微积分作业(应用题6题)】在学习微积分的过程中，应用题是检验学生对知识掌握程度的重要方式。它不仅要求我们具备扎实的数学基础，还需要将理论知识灵活地运用到实际问题中去。以下是六道具有代表性的微积分应用题，帮助大家更好地理解微积分的实际意义与解题思路。

1. 水池注水问题

一个长方体水池，底面积为 50 平方米，水以每分钟 2 立方米的速度注入。假设水池初始时无水，求 t 分钟后水深 h(t) 的表达式，并计算当水深达到 1 米时所需的时间。

提示：利用体积公式 V = 底面积 × 高度，结合导数的概念进行分析。

2. 最大利润问题

某公司生产一种商品，其成本函数为 C(x) = 0.01x² + 10x + 500，售价为 p = 30 - 0.02x。求使利润最大的产量 x，并计算此时的最大利润。

提示：利润 P(x) = 收入 - 成本，收入 R(x) = p·x，通过求导找到极值点。

3. 路程与速度关系

一辆汽车从静止开始沿直线行驶，其加速度随时间变化为 a(t) = 2t + 1（单位：m/s²）。已知初始速度为 0，求在 t = 5 秒时的瞬时速度和总路程。

提示：先对加速度积分得到速度函数，再对速度积分得到位移函数。

4. 面积最大化问题

在半径为 r 的圆内作一个矩形，使其面积最大。求这个最大面积是多少，并说明该矩形的形状。

提示：利用几何关系建立变量之间的关系，使用微分法求极值。

5. 经济学中的边际成本

某工厂生产某种产品，其总成本函数为 C(x) = 500 + 20x + 0.1x²。求生产第 100 件产品的边际成本，并解释其经济意义。

提示：边际成本即为总成本函数在某一点的导数值。

6. 物理中的运动轨迹

一物体沿曲线 y = x² 运动，其 x 坐标随时间变化为 x(t) = t²。求该物体在 t = 1 时刻的瞬时速度大小。

提示：利用参数方程求导，分别求出 dx/dt 和 dy/dt，再用速度公式 v = √[(dx/dt)² + (dy/dt)²] 计算。

以上六道应用题涵盖了微积分在物理、经济、几何等领域的广泛应用。通过练习这些题目，不仅可以加深对微积分概念的理解，还能提升解决实际问题的能力。希望同学们在完成作业的同时，也能体会到数学之美与实用价值。