【二面角的基本求法例题】在立体几何中，二面角是一个重要的概念，它指的是两个平面相交所形成的角。二面角的大小反映了这两个平面之间的相对位置关系，因此在解决空间几何问题时，掌握二面角的求解方法具有重要意义。

一、什么是二面角？

二面角是由两个平面共同构成的一个角，通常由一条公共直线（称为棱）和两个半平面组成。在实际问题中，我们常常需要计算这个角的大小，以便进一步分析图形结构或进行相关计算。

二、二面角的常见求法

1. 定义法

定义法是通过构造一个与两个平面都垂直的平面，从而找到两个平面交线上的垂线段，进而确定二面角的大小。这种方法适用于较为直观的空间图形。

2. 向量法

向量法是一种较为系统的方法，通过计算两个平面的法向量，然后利用向量之间的夹角来求得二面角的大小。具体步骤如下：

- 求出两个平面的法向量；

- 计算这两个法向量之间的夹角；

- 根据角度的余弦值判断二面角的大小。

3. 三垂线法

三垂线法是一种利用空间中点、线、面之间关系来求解二面角的方法。该方法的关键在于找到从一点到棱的垂线，并进一步构造辅助线以确定角的位置。

4. 投影法

投影法通过将一个平面投影到另一个平面上，从而找出它们之间的夹角。这种方法常用于复杂图形中的角度计算。

三、典型例题解析

例题1：

已知平面α和平面β相交于直线l，且平面α内有一条直线m，平面β内有一条直线n，且m与l垂直，n也与l垂直。若m与n的夹角为60°，求二面角α-l-β的大小。

解题思路：

由于m和n分别位于平面α和β内，并且都与交线l垂直，那么m和n的夹角实际上就是二面角α-l-β的平面角。因此，二面角的大小即为60°。

例题2：

设平面α的法向量为n₁ = (1, 2, 3)，平面β的法向量为n₂ = (−2, 1, 1)，求这两个平面所形成的二面角的大小。

解题思路：

利用向量法计算两法向量之间的夹角θ：

$$

\cos\theta = \frac{n_1 \cdot n_2}{|n_1||n_2|}

= \frac{(1)(-2) + (2)(1) + (3)(1)}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} \cdot \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2}}

= \frac{-2 + 2 + 3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}}

= \frac{3}{\sqrt{84}}

$$

由此可得θ的值，再根据实际情况判断二面角的大小。

四、总结

二面角的求解方法多样，选择合适的方法可以提高解题效率。在实际应用中，应结合题目条件灵活运用不同的方法。通过对典型例题的分析，我们可以更好地理解二面角的概念及其求解技巧，为后续更复杂的几何问题打下坚实基础。