在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。当我们面对复杂的函数时，通常需要将其拆解为更简单的部分进行分析。为了更好地理解和应用导数，掌握其四则运算的基本规则是非常必要的。本文将从定义出发，详细推导导数的加法、减法、乘法和除法法则。
一、导数的定义回顾
设函数 \( f(x) \) 在点 \( x_0 \) 处可导，则其导数定义为：
\[
f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}
\]
这一公式表示的是函数在某一点的变化率。接下来，我们将基于此定义推导四则运算的导数规则。
二、导数的加法与减法法则
假设函数 \( u(x) \) 和 \( v(x) \) 都在点 \( x_0 \) 处可导，则它们的和或差的导数可以写为：
\[
[u(x) \pm v(x)]' = u'(x) \pm v'(x)
\]
推导过程：
根据导数的定义：
\[
[u(x) + v(x)]' = \lim_{h \to 0} \frac{[u(x_0 + h) + v(x_0 + h)] - [u(x_0) + v(x_0)]}{h}
\]
整理后得到：
\[
= \lim_{h \to 0} \left( \frac{u(x_0 + h) - u(x_0)}{h} + \frac{v(x_0 + h) - v(x_0)}{h} \right)
\]
由于极限运算具有线性性质，因此：
\[
= \lim_{h \to 0} \frac{u(x_0 + h) - u(x_0)}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{v(x_0 + h) - v(x_0)}{h}
\]
这正是 \( u'(x_0) + v'(x_0) \)，即：
\[
[u(x) + v(x)]' = u'(x) + v'(x)
\]
类似地，对于差的情况也有相同的结论。
三、导数的乘法法则
假设函数 \( u(x) \) 和 \( v(x) \) 都在点 \( x_0 \) 处可导，则它们的乘积的导数为：
\[
[u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
\]
推导过程：
利用导数的定义：
\[
[u(x)v(x)]' = \lim_{h \to 0} \frac{u(x_0 + h)v(x_0 + h) - u(x_0)v(x_0)}{h}
\]
通过代数变形，将分子拆分为两部分：
\[
= \lim_{h \to 0} \frac{u(x_0 + h)v(x_0 + h) - u(x_0)v(x_0 + h) + u(x_0)v(x_0 + h) - u(x_0)v(x_0)}{h}
\]
进一步整理为：
\[
= \lim_{h \to 0} \left[ v(x_0 + h)\frac{u(x_0 + h) - u(x_0)}{h} + u(x_0)\frac{v(x_0 + h) - v(x_0)}{h} \right]
\]
利用极限的线性性质，并注意到当 \( h \to 0 \) 时，\( v(x_0 + h) \to v(x_0) \)，最终得到：
\[
[u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
\]
四、导数的除法法则
假设函数 \( u(x) \) 和 \( v(x) \) 都在点 \( x_0 \) 处可导，且 \( v(x_0) \neq 0 \)，则它们的商的导数为：
\[
\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right]' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{\left[v(x)\right]^2}
\]
推导过程：
同样从定义出发：
\[
\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right]' = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{u(x_0 + h)}{v(x_0 + h)} - \frac{u(x_0)}{v(x_0)}}{h}
\]
通分后化简分子：
\[
= \lim_{h \to 0} \frac{u(x_0 + h)v(x_0) - u(x_0)v(x_0 + h)}{h \cdot v(x_0 + h) \cdot v(x_0)}
\]
将分子拆分为两部分：
\[
= \lim_{h \to 0} \frac{[u(x_0 + h) - u(x_0)]v(x_0) - u(x_0)[v(x_0 + h) - v(x_0)]}{h \cdot v(x_0 + h) \cdot v(x_0)}
\]
分离变量并利用极限性质，最终得到：
\[
\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right]' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{\left[v(x)\right]^2}
\]
五、总结
通过上述推导，我们得到了导数的四则运算基本法则：
1. 加法与减法：\( [u(x) \pm v(x)]' = u'(x) \pm v'(x) \)
2. 乘法：\( [u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \)
3. 除法：\( \left[\frac{u(x)}{v(x)}\right]' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{\left[v(x)\right]^2} \)
这些规则为我们处理复杂函数提供了极大的便利，同时也加深了对导数本质的理解。希望读者能够灵活运用这些法则，解决更多实际问题！
