在概率论与统计学中，超几何分布是一种重要的离散概率分布。它通常用于描述从有限总体中进行不放回抽样的情况下，某种特定事件发生的次数的概率分布。本文将深入探讨超几何分布的期望值与方差，并通过理论推导帮助读者更好地理解这一概念。

一、超几何分布的基本定义

假设有一个总数为 \( N \) 的总体，其中包含 \( K \) 个具有某种特性的个体（例如合格品或目标样本）。我们从中随机抽取 \( n \) 个个体（不放回），设 \( X \) 表示抽样中具有该特性的个体数量，则 \( X \) 服从超几何分布，记作 \( X \sim H(N, K, n) \)。

超几何分布的概率质量函数为：

\[

P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \cdot \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}, \quad k = 0, 1, 2, ..., \min(K, n)

\]

二、超几何分布的期望值

为了计算超几何分布的期望值 \( E[X] \)，我们利用其概率质量函数和数学期望的定义。通过分析可以得出以下结论：

\[

E[X] = n \cdot \frac{K}{N}

\]

这个公式表明，超几何分布的期望值是总体大小 \( N \)、抽样数 \( n \) 和具有特定属性个体数 \( K \) 的线性关系。直观上，这表示抽样过程中具有特定属性个体的比例接近于总体中的比例。

三、超几何分布的方差

除了期望值外，方差也是衡量随机变量波动程度的重要指标。对于超几何分布，其方差公式为：

\[

Var(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \left( 1 - \frac{K}{N} \right) \cdot \frac{N-n}{N-1}

\]

需要注意的是，这里的分母 \( N-1 \) 是由于不放回抽样的特性引入的校正因子。当样本量 \( n \) 相对于总体大小 \( N \) 较小时，此因子趋于 1，此时方差近似于二项分布的形式。

四、实际应用举例

假设某工厂生产的产品总数为 500 件，其中有 100 件是次品。现随机抽取 20 件产品进行检测，求抽到的次品数量的期望值和方差。

根据公式：

\[

E[X] = 20 \cdot \frac{100}{500} = 4

\]

\[

Var(X) = 20 \cdot \frac{100}{500} \cdot \left( 1 - \frac{100}{500} \right) \cdot \frac{500-20}{500-1} \approx 3.16

\]

因此，在这种情况下，抽到的次品数量的平均值约为 4，而其波动范围可以通过标准差 \( \sqrt{Var(X)} \approx 1.78 \) 来估计。

五、总结

超几何分布在实际问题中有广泛的应用场景，尤其是在质量控制、市场调研等领域。通过掌握其期望值和方差的计算方法，我们可以更准确地预测和评估相关事件的发生情况。希望本文能够为读者提供清晰且实用的知识点梳理。