【定比分点公式】在解析几何中，定比分点公式是一个重要的工具，用于求解线段上某一点相对于两个端点的分比关系。该公式广泛应用于坐标系中的点分割问题，特别是在向量、直线方程和几何变换中具有重要意义。
一、定比分点公式的定义
设点 $ P $ 在线段 $ AB $ 上，并且满足 $ \frac{AP}{PB} = \lambda $（其中 $ \lambda > 0 $），则称点 $ P $ 是线段 $ AB $ 的定比分点。根据这个比例关系，可以利用坐标公式计算出点 $ P $ 的坐标。
二、定比分点公式的推导
设点 $ A(x_1, y_1) $，点 $ B(x_2, y_2) $，点 $ P $ 分线段 $ AB $ 的比为 $ \lambda $，即：
$$
\frac{AP}{PB} = \lambda
$$
根据向量的加减法则，可以得出点 $ P $ 的坐标公式如下：
- 当 $ \lambda \neq -1 $ 时，点 $ P $ 的坐标为：
$$
x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}, \quad y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}
$$
三、定比分点公式的应用
该公式常用于以下几种情况：
| 应用场景 | 公式形式 | 说明 |
| 内分点 | $ P = \left( \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}, \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda} \right) $ | 点 $ P $ 在线段 $ AB $ 内部，且 $ \lambda > 0 $ |
| 外分点 | $ P = \left( \frac{x_1 - \lambda x_2}{1 - \lambda}, \frac{y_1 - \lambda y_2}{1 - \lambda} \right) $ | 点 $ P $ 在线段 $ AB $ 的延长线上，且 $ \lambda < 0 $ 或 $ \lambda > 1 $ |
四、定比分点公式的总结
| 项目 | 内容 |
| 名称 | 定比分点公式 |
| 定义 | 根据线段两端点的比例关系，求出中间点的坐标 |
| 公式 | 若 $ \frac{AP}{PB} = \lambda $，则 $ P(x, y) = \left( \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}, \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda} \right) $ |
| 应用 | 几何作图、向量运算、参数化直线等 |
| 注意事项 | 当 $ \lambda = -1 $ 时，公式无意义，此时点 $ P $ 不存在或为无穷远点 |
通过掌握定比分点公式，可以更灵活地处理平面几何中的点与线的关系，是学习解析几何的重要基础之一。
