【stoltz定理】一、概述
Stoltz定理，又称“斯托尔茨定理”或“Stolz–Cesàro定理”，是数学分析中用于处理极限问题的一个重要工具，尤其在处理数列的不定型极限（如0/0或∞/∞）时非常有用。该定理为求解某些复杂数列的极限提供了一种有效的方法，常用于高等数学和实变函数等课程中。
二、定理内容
Stoltz定理有两个主要形式，分别适用于不同类型的不定型极限：
| 类型 | 条件 | 结论 |
| 1. 0/0 型 | 设数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 满足：$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$，$\lim_{n \to \infty} b_n = 0$；且 $b_n$ 单调递减，$b_n \neq 0$；若 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L$，则 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L$。 | 当极限存在时，原式极限等于差分比的极限。 |
| 2. ∞/∞ 型 | 设数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 满足：$\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$，$\lim_{n \to \infty} b_n = \infty$；且 $b_n$ 单调递增，$b_n \neq 0$；若 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L$，则 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L$。 | 当极限存在时，原式极限等于差分比的极限。 |
三、适用场景与特点
Stoltz定理特别适用于以下情况：
- 数列形式复杂，无法直接使用基本极限公式；
- 极限呈现0/0或∞/∞的形式；
- 数列单调性明确，便于构造差分比。
其优势在于将复杂的极限问题转化为更易处理的差分比问题，从而简化计算过程。
四、应用示例
例如，考虑数列：
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + 3 + \cdots + n}{n^2}
$$
这是一个典型的∞/∞型极限。我们可以设：
- $a_n = 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}$
- $b_n = n^2$
根据Stoltz定理，我们计算：
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{(n+1)(n+2)}{2} - \frac{n(n+1)}{2}}{(n+1)^2 - n^2}
= \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)}{2n + 1} = \frac{1}{2}
$$
因此，原式极限为 $\frac{1}{2}$。
五、总结
Stoltz定理是处理数列极限的重要工具，尤其适用于0/0和∞/∞型不定式。通过构造差分比，可以将复杂问题简化，提高解题效率。掌握该定理有助于提升对极限问题的理解与解决能力。
