【向量积如何得到】在向量运算中，向量积（也称为叉积或外积）是一种重要的数学工具，常用于三维空间中的物理和工程问题。它与点积不同，向量积的结果是一个向量，而不是一个标量。本文将总结向量积的定义、计算方法以及其几何意义，并通过表格形式进行对比说明。

一、向量积的定义

向量积是两个向量之间的一种乘法运算，记作 a × b，其中 a 和 b 是两个三维向量。向量积的结果是一个新的向量，其方向垂直于原来的两个向量所构成的平面，大小等于这两个向量构成的平行四边形的面积。

二、向量积的计算方法

1. 代数公式法

若向量 a = (a₁, a₂, a₃)，向量 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的向量积为：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

即：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, \; a_3b_1 - a_1b_3, \; a_1b_2 - a_2b_1)

$$

2. 几何解释法

向量积的方向由右手定则决定：伸出右手，四指从 a 向 b 弯曲，拇指指向 a × b 的方向。其大小为：

$$

$$

其中 θ 是两向量之间的夹角。

三、向量积的性质

四、向量积的应用

- 物理学：如力矩、磁力等；

- 计算机图形学：用于计算法线向量；

- 工程力学：用于分析旋转和力的作用方向。

五、总结

向量积是向量运算中一种重要的操作，能够生成一个与原向量垂直的新向量。其计算可以通过行列式展开的方式完成，同时具有明确的几何意义和丰富的物理应用背景。理解向量积的定义、计算方式及性质，有助于更深入地掌握向量代数及其在实际问题中的应用。

表：向量积与点积对比

如需进一步了解向量积在具体问题中的应用，可参考相关物理或工程教材。

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