【坐标形式的向量积怎么算】在三维空间中，向量积（也称为叉积）是一种重要的向量运算，常用于计算两个向量之间的垂直方向、面积、旋转方向等。向量积的结果是一个与原两个向量都垂直的新向量。本文将总结如何通过坐标形式计算向量积，并以表格形式展示关键公式和步骤。

一、向量积的基本概念

设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和向量 b = (b₁, b₂, b₃)，它们的向量积记作 a × b，结果是一个新的向量，其方向由右手定则决定，大小为 absinθ（θ 是两向量夹角）。

二、坐标形式的向量积公式

向量积 a × b 的坐标形式如下：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

=

(a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

也可以写成：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1)

$$

三、计算步骤总结

四、示例计算

假设向量 a = (1, 2, 3)，向量 b = (4, 5, 6)

根据公式计算：

- x 分量：2×6 - 3×5 = 12 - 15 = -3

- y 分量：3×4 - 1×6 = 12 - 6 = 6

- z 分量：1×5 - 2×4 = 5 - 8 = -3

因此，a × b = (-3, 6, -3)

五、注意事项

- 向量积的结果是一个向量，不是标量。

- 若两向量共线（即平行），则它们的向量积为零向量。

- 向量积不满足交换律，即 a × b ≠ b × a，但 a × b = - (b × a)。

六、总结表

通过上述方法，可以准确地计算出两个向量在三维空间中的向量积。掌握这一计算方式有助于进一步理解向量在物理、工程、计算机图形学等领域的应用。

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