【三角函数变换公式】在数学中，三角函数是研究三角形和周期性现象的重要工具。为了更方便地进行计算和推导，人们总结出了一系列三角函数的变换公式。这些公式不仅有助于简化表达式，还能在解题过程中起到关键作用。以下是对常见三角函数变换公式的总结。
一、基本恒等式
| 公式 | 表达式 |
| 倒数关系 | $ \sin x = \frac{1}{\csc x} $, $ \cos x = \frac{1}{\sec x} $, $ \tan x = \frac{1}{\cot x} $ |
| 商数关系 | $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $, $ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $ |
| 平方关系 | $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $, $ 1 + \tan^2 x = \sec^2 x $, $ 1 + \cot^2 x = \csc^2 x $ |
二、诱导公式（角度变化）
| 角度变化 | 公式 |
| $ \sin(-x) $ | $ -\sin x $ |
| $ \cos(-x) $ | $ \cos x $ |
| $ \tan(-x) $ | $ -\tan x $ |
| $ \sin(\pi - x) $ | $ \sin x $ |
| $ \cos(\pi - x) $ | $ -\cos x $ |
| $ \sin(\pi + x) $ | $ -\sin x $ |
| $ \cos(\pi + x) $ | $ -\cos x $ |
| $ \sin(2\pi - x) $ | $ -\sin x $ |
| $ \cos(2\pi - x) $ | $ \cos x $ |
三、和角与差角公式
| 公式 | 表达式 |
| 正弦和角公式 | $ \sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b $ |
| 正弦差角公式 | $ \sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b $ |
| 余弦和角公式 | $ \cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b $ |
| 余弦差角公式 | $ \cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b $ |
| 正切和角公式 | $ \tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} $ |
| 正切差角公式 | $ \tan(a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} $ |
四、倍角公式
| 公式 | 表达式 |
| 正弦倍角公式 | $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $ |
| 余弦倍角公式 | $ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x $ |
| 正切倍角公式 | $ \tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x} $ |
五、半角公式
| 公式 | 表达式 |
| 正弦半角公式 | $ \sin \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}} $ |
| 余弦半角公式 | $ \cos \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} $ |
| 正切半角公式 | $ \tan \frac{x}{2} = \frac{\sin x}{1 + \cos x} = \frac{1 - \cos x}{\sin x} $ |
六、积化和差公式
| 公式 | 表达式 |
| $ \sin a \cos b $ | $ \frac{1}{2} [\sin(a + b) + \sin(a - b)] $ |
| $ \cos a \sin b $ | $ \frac{1}{2} [\sin(a + b) - \sin(a - b)] $ |
| $ \cos a \cos b $ | $ \frac{1}{2} [\cos(a + b) + \cos(a - b)] $ |
| $ \sin a \sin b $ | $ -\frac{1}{2} [\cos(a + b) - \cos(a - b)] $ |
七、和差化积公式
| 公式 | 表达式 |
| $ \sin a + \sin b $ | $ 2 \sin \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2} $ |
| $ \sin a - \sin b $ | $ 2 \cos \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2} $ |
| $ \cos a + \cos b $ | $ 2 \cos \frac{a + b}{2} \cos \frac{a - b}{2} $ |
| $ \cos a - \cos b $ | $ -2 \sin \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2} $ |
通过掌握这些三角函数变换公式，可以更加灵活地处理各种三角问题，无论是代数运算还是几何分析，都能起到事半功倍的效果。建议在学习过程中结合实际例题练习，加深对公式的理解与应用。
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