【卡方分布的数学期望】卡方分布（χ² 分布）是统计学中一个非常重要的概率分布，常用于假设检验和置信区间估计。在实际应用中，了解卡方分布的数学期望有助于更好地理解其性质和用途。
卡方分布是由标准正态分布变量的平方和构成的。设 $ X_1, X_2, \ldots, X_n $ 是独立同分布的随机变量，且每个 $ X_i \sim N(0, 1) $，则称：
$$
\chi^2 = X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2
$$
服从自由度为 $ n $ 的卡方分布，记作 $ \chi^2(n) $。
卡方分布的数学期望与其自由度有关。具体来说，若 $ X \sim \chi^2(n) $，则其数学期望为：
$$
E(X) = n
$$
也就是说，卡方分布的期望值等于它的自由度。这一结论在统计推断中具有重要意义，尤其是在进行卡方检验时，可以用来判断观测数据与理论分布之间的差异是否显著。
总结与表格展示
| 概念 | 内容 |
| 分布名称 | 卡方分布（χ² 分布） |
| 定义 | 由独立标准正态分布变量的平方和构成 |
| 数学期望 | $ E(X) = n $，其中 $ n $ 为自由度 |
| 应用场景 | 假设检验、置信区间、拟合优度检验等 |
| 重要性 | 用于衡量数据与理论模型之间的偏离程度 |
通过以上内容可以看出，卡方分布的数学期望是一个简单但非常有用的统计量，它直接反映了该分布的基本特征。在实际数据分析中，掌握这一特性有助于更准确地理解和解释统计结果。
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