【高中数学空间向量与立体几何练习题附答案】在高中数学中，空间向量与立体几何是学习三维几何的重要内容，它不仅有助于培养学生的空间想象能力，还能为后续的高等数学打下坚实的基础。本练习题旨在帮助学生巩固空间向量的基本概念、运算方法以及其在立体几何中的应用，题目涵盖基础到综合应用，适合课后练习和复习使用。
一、选择题（每题5分，共10分）
1. 向量 a = (2, -1, 3) 与向量 b = (-4, 2, -6) 的关系是：
A. 垂直
B. 共线
C. 相等
D. 无法判断
2. 已知点 A(1, 2, 3)，B(4, 5, 6)，则向量 AB 的坐标为：
A. (3, 3, 3)
B. (5, 7, 9)
C. (-3, -3, -3)
D. (2, 3, 4)
二、填空题（每空5分，共10分）
3. 若向量 a = (1, 2, 3)，向量 b = (2, -1, 1)，则 a · b = ______。
4. 点 P(2, -1, 3) 到原点 O 的距离为 ______。
三、解答题（每题10分，共20分）
5. 已知三点 A(1, 0, 0)，B(0, 1, 0)，C(0, 0, 1)，求向量 AB 和 AC 的夹角。
6. 在空间中，已知直线 l 的方向向量为 v = (1, 2, 3)，且过点 P(2, 1, -1)，写出该直线的参数方程，并判断点 Q(4, 5, 5) 是否在该直线上。
四、综合题（20分）
7. 设平面 π 过点 A(1, 2, 3)，且法向量为 n = (2, -1, 1)，求该平面的一般方程；并判断点 B(3, 0, 5) 是否在该平面上。
参考答案
一、选择题
1. B（因为 b = -2a）
2. A（AB = B - A = (4-1, 5-2, 6-3) = (3, 3, 3)）
二、填空题
3. a · b = 1×2 + 2×(-1) + 3×1 = 2 - 2 + 3 = 3
4. |OP| = √(2² + (-1)² + 3²) = √(4 + 1 + 9) = √14
三、解答题
5. 向量 AB = B - A = (-1, 1, 0)，向量 AC = C - A = (-1, 0, 1)
cosθ = (AB · AC) / (|AB| × |AC|)
AB · AC = (-1)(-1) + 1×0 + 0×1 = 1
|AB| = √(1 + 1 + 0) = √2
|AC| = √(1 + 0 + 1) = √2
cosθ = 1 / (√2 × √2) = 1/2 → θ = 60°
6. 参数方程：x = 2 + t, y = 1 + 2t, z = -1 + 3t
当 x=4 时，t=2 → y=1+4=5，z=-1+6=5 → Q(4,5,5) 在直线上。
四、综合题
7. 平面方程：2(x - 1) - 1(y - 2) + 1(z - 3) = 0 → 2x - 2 - y + 2 + z - 3 = 0 → 2x - y + z - 3 = 0
代入 B(3, 0, 5)：2×3 - 0 + 5 - 3 = 6 + 5 - 3 = 8 ≠ 0 → B 不在平面上。
通过以上练习题的训练，可以有效提升学生对空间向量与立体几何的理解与应用能力。建议在完成练习后，结合教材进行知识点回顾，进一步加深对相关公式的掌握与灵活运用。
