【15.2.1分式的乘除教案】一、教学目标：
1. 知识与技能：
理解分式乘除法的运算法则，能够熟练进行分式的乘除运算，并能对结果进行约分。
2. 过程与方法：
通过类比分数的乘除法则，引导学生自主探索分式乘除的规律，培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
3. 情感态度与价值观：
激发学生学习数学的兴趣，体会数学在现实生活中的应用价值，增强合作交流意识。
二、教学重点与难点：
- 重点： 分式的乘除法则及运算步骤。
- 难点： 分子、分母中含多项式的分式乘除运算及化简。
三、教学准备：
- 教师准备：PPT课件、练习题、板书设计。
- 学生准备：课本、练习本、笔。
四、教学过程：
1. 情境导入（5分钟）
教师提问：
“我们已经学习了分式的概念和基本性质，那么如何进行分式的乘法和除法呢？有没有类似分数的计算方式？”
引导学生回忆分数的乘除法则：
- 分数相乘：分子乘分子，分母乘分母；
- 分数相除：将除数倒置后与被除数相乘。
接着引出课题：“今天我们将学习分式的乘除，看看它们与分数的乘除有什么异同。”
2. 新知讲解（15分钟）
（1）分式的乘法法则：
两个分式相乘，用分子相乘的积作为新的分子，分母相乘的积作为新的分母。即：
$$
\frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD}
$$
（2）分式的除法法则：
一个分式除以另一个分式，等于乘以这个分式的倒数。即：
$$
\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \times \frac{D}{C} = \frac{AD}{BC}
$$
（3）注意事项：
- 在运算过程中，要先对分子或分母进行因式分解，以便于约分；
- 约分时要注意符号的变化，避免出现错误；
- 分母不能为零，因此在运算前应考虑分母是否为零的情况。
3. 典型例题解析（15分钟）
例题1：
计算：
$$
\frac{x+1}{x-2} \times \frac{x-2}{x+3}
$$
分析：
观察到分母 $x-2$ 与第二个分式的分子 $x-2$ 相同，可以约去。
解：
$$
\frac{x+1}{x-2} \times \frac{x-2}{x+3} = \frac{(x+1)(x-2)}{(x-2)(x+3)} = \frac{x+1}{x+3}
$$
例题2：
计算：
$$
\frac{a^2 - 4}{a + 1} \div \frac{a - 2}{a + 1}
$$
分析：
先将除法转化为乘法，再对分子、分母进行因式分解。
解：
$$
\frac{a^2 - 4}{a + 1} \div \frac{a - 2}{a + 1} = \frac{a^2 - 4}{a + 1} \times \frac{a + 1}{a - 2}
$$
注意到 $a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$，所以：
$$
= \frac{(a - 2)(a + 2)}{a + 1} \times \frac{a + 1}{a - 2} = \frac{(a - 2)(a + 2)(a + 1)}{(a + 1)(a - 2)} = a + 2
$$
4. 巩固练习（10分钟）
练习题：
1. $\frac{2x}{y} \times \frac{y}{3x}$
2. $\frac{m^2 - 9}{m - 1} \div \frac{m + 3}{m - 1}$
3. $\frac{x^2 - 4x + 4}{x - 2} \times \frac{x - 2}{x - 2}$
教师巡视指导，学生独立完成，教师点评。
5. 小结与作业（5分钟）
小结：
- 分式的乘法：分子乘分子，分母乘分母；
- 分式的除法：转化为乘法，乘以倒数；
- 注意约分和分母不为零的条件。
作业：
教材第85页，第1、2、3题（选做第4题）。
五、板书设计：
```
15.2.1 分式的乘除
1. 分式乘法：
A/B × C/D = AC/BD
2. 分式除法：
A/B ÷ C/D = A/B × D/C = AD/BC
3. 注意事项：
- 因式分解
- 约分
- 分母不为0
```
六、教学反思（课后填写）
本节课通过类比分数的运算规则，帮助学生理解分式的乘除法则，课堂互动良好，大部分学生能够掌握基本运算方法。但在处理含多项式的分式运算时，部分学生仍需加强练习，今后可增加相关例题训练。
