【等差数列试题及答案】等差数列是数学中常见的数列类型之一，其特点是相邻两项之间的差值恒定。掌握等差数列的相关知识，不仅有助于解决基础的数学问题，还能在实际生活中应用广泛。本文将提供一些典型的等差数列试题，并附上详细解答，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、选择题
1. 在等差数列中，已知首项为 3，公差为 5，则第 6 项是（ ）
A. 28
B. 25
C. 23
D. 20
解析：
等差数列的通项公式为：
$$ a_n = a_1 + (n - 1)d $$
其中 $ a_1 = 3 $，$ d = 5 $，$ n = 6 $
$$ a_6 = 3 + (6 - 1) \times 5 = 3 + 25 = 28 $$
答案：A
2. 若一个等差数列的第 4 项为 12，第 7 项为 21，则其公差为（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
解析：
根据通项公式：
$$ a_4 = a_1 + 3d = 12 $$
$$ a_7 = a_1 + 6d = 21 $$
用第二个式子减去第一个式子：
$$ (a_1 + 6d) - (a_1 + 3d) = 21 - 12 $$
$$ 3d = 9 \Rightarrow d = 3 $$
答案：A
二、填空题
3. 等差数列中，若第 5 项为 10，公差为 2，则第 10 项为 ______。
解析：
由通项公式：
$$ a_5 = a_1 + 4d = 10 $$
$$ a_1 + 4 \times 2 = 10 \Rightarrow a_1 = 10 - 8 = 2 $$
$$ a_{10} = a_1 + 9d = 2 + 9 \times 2 = 20 $$
答案：20
4. 已知等差数列的前 3 项为 4, 7, 10，则第 10 项为 ______。
解析：
观察前三项可知，公差 $ d = 7 - 4 = 3 $
$$ a_{10} = a_1 + 9d = 4 + 9 \times 3 = 4 + 27 = 31 $$
答案：31
三、解答题
5. 一个等差数列的第 2 项为 6，第 5 项为 15，求该数列的通项公式。
解析：
设首项为 $ a_1 $，公差为 $ d $，则有：
$$ a_2 = a_1 + d = 6 $$
$$ a_5 = a_1 + 4d = 15 $$
联立解方程：
从第一式得 $ a_1 = 6 - d $
代入第二式：
$$ 6 - d + 4d = 15 \Rightarrow 6 + 3d = 15 \Rightarrow 3d = 9 \Rightarrow d = 3 $$
所以 $ a_1 = 6 - 3 = 3 $
因此通项公式为：
$$ a_n = 3 + (n - 1) \times 3 = 3n $$
答案：$ a_n = 3n $
四、应用题
6. 某工厂在一年内每月生产某种产品，产量构成等差数列。已知第一季度总产量为 120 件，第二季度总产量为 180 件，求该厂每月的产量变化情况。
解析：
设首月产量为 $ a $，公差为 $ d $，则：
第一季度为第 1、2、3 月，总产量为：
$$ a + (a + d) + (a + 2d) = 3a + 3d = 120 $$
即：
$$ a + d = 40 \quad \text{（1）} $$
第二季度为第 4、5、6 月，总产量为：
$$ (a + 3d) + (a + 4d) + (a + 5d) = 3a + 12d = 180 $$
即：
$$ a + 4d = 60 \quad \text{（2）} $$
用（2）减（1）得：
$$ (a + 4d) - (a + d) = 60 - 40 \Rightarrow 3d = 20 \Rightarrow d = \frac{20}{3} $$
代入（1）得：
$$ a + \frac{20}{3} = 40 \Rightarrow a = 40 - \frac{20}{3} = \frac{100}{3} $$
因此，每月产量依次为：
$$ \frac{100}{3}, \frac{120}{3}, \frac{140}{3}, \frac{160}{3}, \frac{180}{3}, \frac{200}{3} $$
即：
$$ 33.33, 40, 46.67, 53.33, 60, 66.67 $$
答案：每月产量以约 6.67 的公差递增。
通过以上练习，可以加深对等差数列的理解和运用能力。建议多做相关题目，熟练掌握通项公式与求和公式的使用。希望本篇文章对你的学习有所帮助！
