【最新完整版数学归纳法经典例题及答案】数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，广泛应用于数列、不等式、整除性等问题的证明中。它通过两个基本步骤：基础步骤和归纳步骤，来验证一个关于自然数的命题对所有正整数都成立。本文将为大家整理一些经典的数学归纳法例题，并附上详细解答，帮助大家更好地掌握这一重要工具。
一、什么是数学归纳法？
数学归纳法是一种用于证明与自然数有关的命题的方法。其核心思想是：
1. 基础情形：证明当n=1时命题成立；
2. 归纳假设：假设当n=k（k为某个正整数）时命题成立；
3. 归纳步骤：在假设的基础上，证明当n=k+1时命题也成立。
如果以上两步都成立，则可以得出该命题对所有正整数n都成立。
二、经典例题解析
例题1：证明等差数列求和公式
命题：对于任意正整数n，有
$$
1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}
$$
证明：
第一步：基础情形（n=1）
左边：1
右边：$\frac{1(1+1)}{2} = 1$
左右相等，命题成立。
第二步：归纳假设
假设当n=k时，命题成立，即
$$
1 + 2 + 3 + \cdots + k = \frac{k(k+1)}{2}
$$
第三步：归纳步骤（n=k+1）
我们要求证：
$$
1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}
$$
根据归纳假设，左边可写成：
$$
\frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}
$$
与右边相等，命题成立。
因此，由数学归纳法可知，原命题对所有正整数n成立。
例题2：证明平方和公式
命题：对于任意正整数n，有
$$
1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
$$
证明：
第一步：基础情形（n=1）
左边：$1^2 = 1$
右边：$\frac{1(1+1)(2×1+1)}{6} = \frac{1×2×3}{6} = 1$
成立。
第二步：归纳假设
设当n=k时，命题成立，即
$$
1^2 + 2^2 + \cdots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}
$$
第三步：归纳步骤（n=k+1）
要证明：
$$
1^2 + 2^2 + \cdots + k^2 + (k+1)^2 = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}
$$
根据归纳假设，左边等于：
$$
\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^2}{6}
$$
提取公因式(k+1)：
$$
= \frac{(k+1)[k(2k+1) + 6(k+1)]}{6} = \frac{(k+1)(2k^2 + k + 6k + 6)}{6} = \frac{(k+1)(2k^2 + 7k + 6)}{6}
$$
分解多项式：
$$
2k^2 + 7k + 6 = (k+2)(2k+3)
$$
所以左边变为：
$$
\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}
$$
与右边一致，命题成立。
例题3：证明2^n > n（n≥1）
命题：对于任意正整数n，都有 $2^n > n$
证明：
第一步：基础情形（n=1）
左边：$2^1 = 2$
右边：1
2 > 1，成立。
第二步：归纳假设
假设当n=k时，$2^k > k$ 成立。
第三步：归纳步骤（n=k+1）
我们要证明：$2^{k+1} > k+1$
根据归纳假设，$2^k > k$，两边乘以2得：
$$
2^{k+1} > 2k
$$
现在只需证明 $2k ≥ k+1$，即 $k ≥ 1$，显然成立。
因此，$2^{k+1} > 2k ≥ k+1$，即 $2^{k+1} > k+1$，命题成立。
三、总结
数学归纳法是解决涉及自然数的命题的重要工具，尤其适用于数列、不等式、整除性等问题。通过基础步骤和归纳步骤的结合，能够系统地验证命题的普遍性。希望本文提供的经典例题和详细解答，能够帮助读者更好地理解和应用数学归纳法。
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