【中考数学必做的36道压轴题第1题】在备战中考的复习过程中，压轴题一直是考生们最关注的部分之一。它不仅考查学生的综合运用能力，还对逻辑思维、解题技巧和心理素质提出了较高要求。为了帮助广大考生更好地掌握中考数学的难点与重点，我们整理了“中考数学必做的36道压轴题”，其中第一题便是许多同学在考试中遇到的经典题目。
这道题虽然看似简单，但其背后蕴含的知识点却非常丰富，涵盖了函数、几何、代数等多个方面的综合应用。通过这道题的练习，不仅可以提升学生的解题速度和准确率，还能增强他们面对复杂问题时的自信心。
题目
已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图像经过点 $ A(1, 0) $ 和 $ B(-1, 4) $，且顶点坐标为 $ (m, n) $，求该函数的解析式，并判断当 $ x = 2 $ 时，$ y $ 的值是多少。
这是一道典型的二次函数问题，主要考察学生对函数表达式的理解以及顶点坐标的计算能力。解题的关键在于利用已知点建立方程组，并结合顶点公式进行求解。
首先，将点 $ A(1, 0) $ 和 $ B(-1, 4) $ 代入函数表达式，得到两个方程：
$$
\begin{cases}
a(1)^2 + b(1) + c = 0 \\
a(-1)^2 + b(-1) + c = 4
\end{cases}
$$
即：
$$
\begin{cases}
a + b + c = 0 \\
a - b + c = 4
\end{cases}
$$
接下来，可以通过消元法解这个方程组。将两个方程相减，可以得到：
$$
(a + b + c) - (a - b + c) = 0 - 4 \Rightarrow 2b = -4 \Rightarrow b = -2
$$
将 $ b = -2 $ 代入第一个方程，得：
$$
a - 2 + c = 0 \Rightarrow a + c = 2
$$
此时，还需要利用顶点坐标来进一步确定 $ a $ 和 $ c $ 的值。二次函数的顶点横坐标为 $ m = -\frac{b}{2a} $，因此：
$$
m = -\frac{-2}{2a} = \frac{1}{a}
$$
但由于题目中没有给出具体的顶点坐标，因此我们可以假设 $ m $ 为任意值，或者根据题目要求进行进一步分析。如果题目中未给出具体数值，通常可以选择一个合理的 $ a $ 值来满足条件。
例如，设 $ a = 1 $，则由 $ a + c = 2 $ 得到 $ c = 1 $。因此，函数解析式为：
$$
y = x^2 - 2x + 1
$$
验证一下是否符合已知点：
- 当 $ x = 1 $ 时，$ y = 1 - 2 + 1 = 0 $，符合条件；
- 当 $ x = -1 $ 时，$ y = 1 + 2 + 1 = 4 $，也符合条件。
最后，题目要求当 $ x = 2 $ 时，$ y $ 的值是多少：
$$
y = (2)^2 - 2(2) + 1 = 4 - 4 + 1 = 1
$$
因此，当 $ x = 2 $ 时，$ y = 1 $。
这道题虽然基础，但却是中考数学中常见的题型之一，熟练掌握此类题目的解题思路，有助于提高整体数学成绩。建议同学们在复习时多做类似的题目，注重知识点的整合与灵活运用，为即将到来的中考做好充分准备。
