离散数学是计算机科学与技术、信息工程等相关专业的重要基础课程，其内容涵盖集合论、逻辑学、图论、代数结构等多个方面。为了帮助学生更好地掌握该课程的核心知识点，以下是一份精心整理的离散数学复习试题及参考答案，适用于期末考试或考研复习。
一、选择题（每题2分，共10分）
1. 下列哪个命题是真命题？
A. 如果今天下雨，则我不出门
B. 如果今天不下雨，则我出门
C. 如果我不出门，则今天下雨
D. 如果我不出门，则今天没有下雨
答案：A
2. 设集合 A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则 A ∩ B 是：
A. {1, 2}
B. {2, 3}
C. {3, 4}
D. {1, 4}
答案：B
3. 下列哪个关系不是等价关系？
A. 相等关系
B. 同余关系
C. 小于等于关系
D. 全等关系
答案：C
4. 图中边的数量为 5，顶点数为 4，该图可能是：
A. 无向简单图
B. 有向图
C. 多重图
D. 欧拉图
答案：C
5. 在一个布尔代数中，元素 a 的补元是：
A. a
B. 1
C. 0
D. 非 a
答案：D
二、填空题（每空2分，共10分）
1. 命题“如果 p，则 q”的逆否命题是__________。
答案：如果非 q，则非 p
2. 集合 A 的幂集的元素个数是 8，则 A 的元素个数为__________。
答案：3
3. 若 f: A → B 是单射函数，则 |A| 和 |B| 的关系是__________。
答案：|A| ≤ |B|
4. 在一个无向图中，所有顶点的度数之和一定是__________。
答案：偶数
5. 布尔代数中，a ∧ (a ∨ b) = _________。
答案：a
三、简答题（每题5分，共10分）
1. 请简述什么是等价关系，并列举三个等价关系的例子。
答： 等价关系是指满足自反性、对称性和传递性的二元关系。例如：
- 相等关系
- 同余关系
- 两个整数具有相同的余数（模 n）的关系
2. 什么是欧拉图？判断一个图是否为欧拉图的条件是什么？
答： 欧拉图是指存在一条经过每条边一次且仅一次的回路的图。
判断条件：图是连通的，且所有顶点的度数均为偶数。
四、计算题（每题10分，共20分）
1. 设集合 A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求 A × B 和 B × A，并说明它们是否相等。
解：
A × B = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,2), (3,3), (3,4)}
B × A = {(2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)}
它们不相等，因为笛卡尔积不满足交换律。
2. 给定一个图 G，其邻接矩阵为：
```
[0 1 1 0]
[1 0 1 1]
[1 1 0 1]
[0 1 1 0]
```
请判断该图是否为欧拉图，并说明理由。
解：
图的每个顶点的度数分别为：
- 顶点1：2
- 顶点2：3
- 顶点3：3
- 顶点4：2
因为有两个顶点（顶点2和顶点3）的度数为奇数，所以该图不是欧拉图。
五、证明题（每题10分，共10分）
1. 证明：在任意一个无向图中，度数为奇数的顶点个数一定是偶数。
证明：
设图 G 有 V 个顶点，E 条边。每条边连接两个顶点，因此所有顶点的度数之和等于 2E，是一个偶数。假设度数为奇数的顶点有 k 个，其余顶点的度数为偶数。那么，k 个奇数的和加上若干偶数的和等于 2E，即偶数。由于奇数的和只有在 k 为偶数时才是偶数，故 k 必须为偶数。
总结：
本套试题涵盖了离散数学的主要知识点，包括命题逻辑、集合论、关系、图论和布尔代数等内容。通过系统练习，可以帮助学生巩固基础知识，提高分析和解决问题的能力。希望同学们在复习过程中认真理解概念，勤加练习，顺利应对考试。
