在工程、物理、数学等众多学科中，计算方法是一门重要的基础课程。它主要研究如何利用数值手段解决实际问题，特别是在无法通过解析方法求解的情况下，计算方法提供了有效的近似解法。以下是一些典型的计算方法试题及其参考答案，供学习和复习使用。
一、选择题
1. 下列哪种方法属于插值法？
A. 牛顿迭代法
B. 龙贝格积分法
C. 拉格朗日插值法
D. 高斯消元法
答案：C
2. 在求解非线性方程时，牛顿迭代法的收敛速度通常是：
A. 线性收敛
B. 平方收敛
C. 超线性收敛
D. 不收敛
答案：B
3. 高斯-赛德尔迭代法是用于求解：
A. 非线性方程组
B. 线性方程组
C. 微分方程
D. 积分方程
答案：B
二、填空题
1. 数值积分中，辛普森法则的基本思想是用_________逼近被积函数。
答案：二次多项式
2. 在常微分方程初值问题中，龙格-库塔法是一种_________方法。
答案：多步
3. 有限差分法通常用于求解_________方程。
答案：偏微分
三、简答题
1. 简述高斯消元法的基本思想及其适用范围。
答：高斯消元法是一种求解线性方程组的经典方法，其基本思想是通过行变换将系数矩阵化为上三角矩阵，然后通过回代求出未知数的值。该方法适用于中小型稠密矩阵，但对病态矩阵可能不稳定。
2. 什么是数值稳定性？为什么在计算过程中需要考虑数值稳定性？
答：数值稳定性是指算法在计算过程中对舍入误差和初始误差的敏感程度。如果一个算法在计算过程中误差被放大，就会导致结果不准确，因此在设计算法时必须考虑其数值稳定性，以确保计算结果的可靠性。
四、计算题
1. 用牛顿迭代法求解方程 $ f(x) = x^3 - 2x - 5 = 0 $ 的根，取初始值 $ x_0 = 2 $，要求计算两步迭代结果。
解：
牛顿迭代公式为：
$$
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
$$
其中 $ f'(x) = 3x^2 - 2 $。
- 第一步：
$$
x_0 = 2,\quad f(2) = 8 - 4 - 5 = -1,\quad f'(2) = 12 - 2 = 10
$$
$$
x_1 = 2 - \frac{-1}{10} = 2.1
$$
- 第二步：
$$
f(2.1) = (2.1)^3 - 2 \times 2.1 - 5 = 9.261 - 4.2 - 5 = 0.061
$$
$$
f'(2.1) = 3 \times (2.1)^2 - 2 = 3 \times 4.41 - 2 = 13.23 - 2 = 11.23
$$
$$
x_2 = 2.1 - \frac{0.061}{11.23} \approx 2.1 - 0.0054 \approx 2.0946
$$
答案：$ x_1 = 2.1 $，$ x_2 \approx 2.0946 $
五、论述题
试比较拉格朗日插值法与牛顿插值法的优缺点，并说明在何种情况下应优先选用哪一种方法。
答：
拉格朗日插值法构造简单，形式统一，适合已知节点较少的情况；但当新增节点时，需要重新计算所有基函数，计算量较大。而牛顿插值法则通过差商的方式逐步构建插值多项式，新增节点时只需添加新的项，计算效率更高。因此，在节点数量较多或需要动态增加节点时，牛顿插值法更为合适；而在节点较少且不需要频繁修改的情况下，拉格朗日插值法更便于理解和实现。
以上试题及答案可用于计算方法课程的复习与测试，帮助学生巩固基础知识，提升实际应用能力。
