在数学分析中，判断一个函数是否具有有界性是研究其性质的重要内容之一。所谓函数有界，是指存在某个正实数 $ M $，使得对于定义域内的所有 $ x $，都有 $ |f(x)| \leq M $。本文将通过几个典型例题，详细说明如何证明某些函数是有界的，并探讨其中的思路与方法。
一、定义回顾
设函数 $ f: D \rightarrow \mathbb{R} $，其中 $ D \subseteq \mathbb{R} $ 是函数的定义域。若存在正实数 $ M $，使得对任意 $ x \in D $，都有
$$
|f(x)| \leq M,
$$
则称函数 $ f(x) $ 在 $ D $ 上是有界的。
二、例题解析
例题1：证明函数 $ f(x) = \frac{\sin x}{x} $ 在区间 $ (0, +\infty) $ 上有界。
分析：
首先注意到，当 $ x \to 0^+ $ 时，$ \frac{\sin x}{x} \to 1 $，因此该函数在 $ x=0 $ 处可以定义为连续函数（尽管原函数在 $ x=0 $ 处未定义）。因此我们考虑 $ x > 0 $ 的情况。
由于 $ |\sin x| \leq 1 $，所以
$$
\left| \frac{\sin x}{x} \right| \leq \frac{1}{x}.
$$
然而，随着 $ x \to +\infty $，$ \frac{1}{x} \to 0 $，这说明函数在无穷远处趋于零。但需要注意的是，这个不等式并不能直接给出一个统一的上界，因为当 $ x $ 很小时，$ \frac{1}{x} $ 会变得很大。
不过我们可以换一种方式来看：
由于 $ |\sin x| \leq 1 $，而 $ x > 0 $，所以
$$
\left| \frac{\sin x}{x} \right| \leq \frac{1}{x} \leq 1 \quad \text{当 } x \geq 1.
$$
而对于 $ 0 < x < 1 $，由于 $ \sin x \approx x $，所以 $ \left| \frac{\sin x}{x} \right| \approx 1 $，即在该区间内也满足 $ |f(x)| \leq 2 $（例如）。
综上，我们可以取 $ M = 2 $，使得对于所有 $ x > 0 $，都有
$$
|f(x)| \leq 2.
$$
因此，函数 $ f(x) = \frac{\sin x}{x} $ 在 $ (0, +\infty) $ 上是有界的。
例题2：证明函数 $ f(x) = \arctan x $ 在 $ \mathbb{R} $ 上有界。
分析：
我们知道，反正切函数 $ \arctan x $ 的值域是 $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $，也就是说，无论 $ x $ 取何值，$ \arctan x $ 都不会超过 $ \frac{\pi}{2} $ 或低于 $ -\frac{\pi}{2} $。
因此，取 $ M = \frac{\pi}{2} $，就有
$$
|\arctan x| \leq \frac{\pi}{2}, \quad \forall x \in \mathbb{R}.
$$
所以函数 $ f(x) = \arctan x $ 在整个实数集上是有界的。
例题3：证明函数 $ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 + 2} $ 在 $ \mathbb{R} $ 上有界。
分析：
观察分子和分母，可以看出分母始终大于等于 2，而分子总是大于等于 1。因此，
$$
\frac{x^2 + 1}{x^2 + 2} < 1, \quad \forall x \in \mathbb{R}.
$$
同时，由于分子和分母均为正数，函数值始终为正，所以
$$
0 < \frac{x^2 + 1}{x^2 + 2} < 1.
$$
因此，我们可以取 $ M = 1 $，显然
$$
\left| \frac{x^2 + 1}{x^2 + 2} \right| < 1 \leq M.
$$
故该函数在 $ \mathbb{R} $ 上是有界的。
三、总结
通过上述例题可以看出，证明函数有界通常需要结合函数的表达式、极限行为以及一些基本不等式进行分析。关键在于找到合适的上界或下界，并验证其在整个定义域内成立。此外，函数的连续性、单调性、周期性等性质也可以作为辅助工具来帮助判断其有界性。
在实际操作中，应根据具体情况灵活运用各种方法，如夹逼定理、最大最小值定理、利用已知函数的有界性等，从而更高效地完成函数有界性的证明。
