在数学中，一元二次方程是一种常见的代数表达形式，其标准形式为 \( ax^2 + bx + c = 0 \)，其中 \( a \neq 0 \)。为了求解这类方程的根，我们通常会使用求根公式。本文将详细推导这一公式的来源。
第一步：配方法的基本思路
首先，我们将方程中的 \( x^2 \) 和 \( x \) 的项分离出来，并尝试通过配方的方式简化问题。具体来说，我们希望将 \( ax^2 + bx \) 转化为一个完全平方的形式。
1. 将方程两边同时除以 \( a \)，得到：
\[
x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0
\]
2. 接下来，我们将 \( x^2 + \frac{b}{a}x \) 配成一个完全平方。注意到完全平方的形式是 \( (x + p)^2 = x^2 + 2px + p^2 \)，因此我们需要找到合适的 \( p \) 值。
3. 比较系数后，可以确定 \( p = \frac{b}{2a} \)。于是，我们有：
\[
x^2 + \frac{b}{a}x = \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b}{2a} \right)^2
\]
第二步：整理方程
将上述结果代入原方程，得到：
\[
\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{c}{a} = 0
\]
移项并合并常数项，得到：
\[
\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \left( \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{c}{a}
\]
第三步：开平方求解
对方程两边开平方，注意正负号的选择，得到：
\[
x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\left( \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{c}{a}}
\]
进一步整理，得到：
\[
x = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{\left( \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{c}{a}}
\]
第四步：化简最终公式
将根号内的分母统一为 \( 4a^2 \)，得到：
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
这就是一元二次方程的求根公式。通过这个公式，我们可以快速求解任何形如 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的方程。
总结
通过对一元二次方程的配方和代数变形，我们成功推导出了求根公式。这个公式不仅简洁实用，而且广泛应用于数学、物理等多个领域。掌握这一推导过程有助于加深对代数本质的理解，同时也是解决实际问题的重要工具。
