在2021年的全国卷高考中，数学作为一门核心科目，其难度和考点分布备受关注。本文将针对部分典型的计算题进行深度剖析，帮助考生更好地理解题目背后的逻辑与解题技巧。

题目一：函数与方程结合

原题描述：已知函数 $ f(x) = ax^2 + bx + c $，且满足 $ f(1) = 5 $, $ f(-1) = -3 $, $ f(2) = 14 $。求系数 $ a $、$ b $、$ c $ 的值。

解析：

根据题目条件，我们可以列出三个方程：

$$

\begin{cases}

a + b + c = 5 \\

a - b + c = -3 \\

4a + 2b + c = 14

\end{cases}

$$

通过消元法或矩阵运算，可以解得：

$$

a = 2, \quad b = 3, \quad c = 0

$$

因此，函数表达式为 $ f(x) = 2x^2 + 3x $。

题目二：几何与代数综合

原题描述：已知直线 $ l_1: y = kx + 1 $ 和圆 $ C: (x-2)^2 + (y-3)^2 = 9 $ 相切，求斜率 $ k $ 的值。

解析：

直线与圆相切意味着直线到圆心的距离等于半径。圆心坐标为 $ (2, 3) $，半径为 3。直线到圆心的距离公式为：

$$

d = \frac{|k \cdot 2 - 3 + 1|}{\sqrt{k^2 + 1}}

$$

令 $ d = 3 $，化简后得到：

$$

|2k - 2| = 3\sqrt{k^2 + 1}

$$

两边平方并整理，得到关于 $ k $ 的一元二次方程，最终解得：

$$

k = \frac{-4}{3}, \quad k = 0

$$

题目三：概率统计应用

原题描述：某班级有 40 名学生，其中男生 24 名，女生 16 名。从中随机抽取 3 名学生，求至少有一名女生的概率。

解析：

总抽样方式数为 $ C_{40}^3 $，而没有女生的情况是仅从男生中抽取 3 名，即 $ C_{24}^3 $。利用补集思想，至少一名女生的概率为：

$$

P = 1 - \frac{C_{24}^3}{C_{40}^3}

$$

经过计算，结果约为 $ 0.82 $。

通过对以上几道典型题目的详细解析，可以看出高考数学注重基础知识的灵活运用以及综合能力的考查。希望这些解析能为备考的同学提供一定的参考价值。