在数学学习中，排列组合是一个重要的知识点，它不仅与概率统计密切相关，也是解决实际问题的重要工具。本文将通过几个典型的排列组合例题，帮助大家更好地理解和掌握这一部分内容。

例题 1：无重复数字的三位数

题目：从 0 到 9 的十个数字中选取三个不同的数字，组成一个三位数，问有多少种不同的三位数？

解答：

- 首先，百位不能为 0，因此我们先从 1 到 9 中选择一个数字作为百位，有 $ C_9^1 = 9 $ 种选择。

- 接下来，十位可以从剩余的 9 个数字中任选一个，有 $ C_9^1 = 9 $ 种选择。

- 最后，个位可以从剩下的 8 个数字中任选一个，有 $ C_8^1 = 8 $ 种选择。

根据乘法原理，总共有：

$$

9 \times 9 \times 8 = 648

$$

种不同的三位数。

例题 2：分组分配问题

题目：现有 5 名学生需要分成两组，一组 3 人，另一组 2 人，问有多少种分组方法？

解答：

- 首先，从 5 名学生中选出 3 人组成第一组，有 $ C_5^3 = 10 $ 种选择。

- 剩下的 2 人自动组成第二组，无需额外选择。

但需要注意的是，这里两组是无序的，即第一组和第二组互换位置不会产生新的分组方式。因此，结果需要除以 2！（即 2 的阶乘），避免重复计算。

最终的分组方法数为：

$$

\frac{C_5^3}{2!} = \frac{10}{2} = 5

$$

例题 3：环形排列问题

题目：有 6 个人围成一圈，问有多少种不同的排列方式？

解答：

对于环形排列问题，我们需要特别注意，由于圆圈没有明确的起点，因此任意一种排列都可以通过旋转得到其他排列。因此，我们需要将总的排列数除以人数，即 $ n $。

总排列数为：

$$

6! = 720

$$

而去除旋转对称性后，排列数为：

$$

\frac{6!}{6} = 120

$$

例题 4：带限制条件的排列

题目：某班级有 5 名男生和 3 名女生，从中选出 4 人参加比赛，要求至少有 1 名女生，问有多少种选法？

解答：

我们可以采用补集思想来解题：

- 总共的选法数为从 8 人中选 4 人，即：

$$

C_8^4 = 70

$$

- 如果选出的 4 人全是男生，则有 $ C_5^4 = 5 $ 种选法。

因此，至少有 1 名女生的选法数为：

$$

70 - 5 = 65

$$

总结

通过以上几个例题，我们可以看到，排列组合的核心在于正确区分问题类型，并灵活运用加法原理、乘法原理以及补集思想。希望大家通过这些例题能够更加熟练地掌握排列组合的相关知识。

以上便是关于排列组合的典型例题及解答，希望对大家有所帮助！