在数学领域中，阶乘是一个非常基础且重要的概念，广泛应用于组合数学、概率论、数论等多个分支。所谓阶乘，通常是指一个正整数n及其所有小于它的正整数的乘积。例如，5的阶乘（记作5!）等于5×4×3×2×1=120。

阶乘的定义可以简单地表示为：

\[ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 1 \]

对于0和1，我们约定0!=1!=1。这种规定主要是为了满足一些数学公式的一致性和简洁性。

除了上述递归定义外，还有其他形式的阶乘表达方式。比如伽玛函数（Gamma Function），它是一种扩展了阶乘概念的特殊函数，能够将阶乘的概念从整数推广到复数域。伽玛函数定义如下：

\[ \Gamma(n) = \int_0^\infty x^{n-1} e^{-x} dx \]

当n为正整数时，有 \(\Gamma(n) = (n-1)!\)，这表明伽玛函数实际上是对阶乘的一种延拓。

阶乘的应用十分广泛。在排列组合问题中，我们经常需要计算不同元素的排列数或组合数，这些都涉及到阶乘运算。例如，从n个不同元素中选取r个进行排列的方法总数为 \(P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}\)，而选取r个元素的组合数则为 \(C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)。

此外，在微积分、物理学等领域，阶乘也扮演着重要角色。例如，在泰勒展开式中，每一项系数往往包含阶乘因子；而在统计力学中，玻尔兹曼分布等公式里也能见到阶乘的身影。

需要注意的是，随着n值增大，阶乘增长速度极快，因此在实际应用中，尤其是涉及大规模数据处理时，如何高效地计算大数阶乘成为了一个值得研究的问题。为此，科学家们开发出了多种算法和技术手段来优化阶乘的计算过程。

总之，阶乘不仅是数学中的一个重要工具，也是连接不同学科之间的桥梁之一。通过对阶乘的研究与应用，我们可以更好地理解自然界和社会现象背后的规律。