在数学的学习过程中,函数是一个非常重要的概念。而函数的定义域则是函数的重要组成部分之一,它决定了函数可以取值的范围。正确理解和掌握函数定义域的求解方法,对于解决各种数学问题有着至关重要的作用。接下来,我们将通过一些具体的练习题来帮助大家更好地理解函数定义域的求法。
练习题一:基本形式
设函数 \(f(x) = \sqrt{x - 3}\),求其定义域。
解析:要使函数有意义,必须保证根号内的表达式非负。因此,我们有:
\[x - 3 \geq 0\]
解得:
\[x \geq 3\]
所以,该函数的定义域为 \([3, +\infty)\)。
练习题二:分式形式
已知函数 \(g(x) = \frac{1}{x^2 - 4}\),求其定义域。
解析:分式的分母不能为零。因此,我们需找出哪些 \(x\) 值使得分母等于零。
\[x^2 - 4 = 0\]
解得:
\[x = \pm 2\]
所以,该函数的定义域为 \((-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)\)。
练习题三:复合函数
若函数 \(h(x) = \ln(x^2 - 5x + 6)\),求其定义域。
解析:自然对数函数要求其真数大于零。因此,我们需解不等式:
\[x^2 - 5x + 6 > 0\]
分解因式后得到:
\[(x - 2)(x - 3) > 0\]
利用数轴法或符号分析法,可得解集为:
\[x < 2 \quad \text{或} \quad x > 3\]
因此,该函数的定义域为 \((-\infty, 2) \cup (3, +\infty)\)。
练习题四:三角函数
给定函数 \(j(x) = \tan(2x)\),求其定义域。
解析:正切函数在某些特定点上无意义,即当其角度为 \(\frac{\pi}{2} + k\pi\) (\(k\) 为整数)时。对于 \(j(x)\),我们需要找到满足以下条件的所有 \(x\) 值:
\[2x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\]
解得:
\[x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}\]
所以,该函数的定义域为所有实数 \(x\),除了上述限制条件下的点。
通过以上几个例子,我们可以看到,函数定义域的求解需要根据函数的具体形式采取不同的策略。无论是代数运算、不等式求解还是特殊函数性质的应用,都需要细心观察和灵活运用相关知识。希望这些练习题能帮助大家加深对函数定义域的理解,并提高解决问题的能力。