在数学中，平面向量是一个重要的概念，它不仅在理论研究中有广泛应用，而且在实际问题解决中也扮演着关键角色。本文将介绍一些常见的平面向量公式，并通过简单的试题帮助读者更好地理解和掌握这些知识。

平面向量的基本定义与性质

平面向量是指既有大小又有方向的量，通常可以用坐标表示为 \(\vec{v} = (x, y)\)，其中 \(x\) 和 \(y\) 分别表示向量在横轴和纵轴上的分量。以下是几个基本的向量运算公式：

1. 向量加法：若 \(\vec{a} = (x_1, y_1)\) 且 \(\vec{b} = (x_2, y_2)\)，则 \(\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)\)。

2. 向量减法：\(\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)\)。

3. 标量乘法：若 \(k\) 是一个实数，则 \(k\vec{a} = (kx_1, ky_1)\)。

4. 向量的模：向量 \(\vec{a}\) 的模（即长度）为 \(|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}\)。

5. 向量的点积：两个向量 \(\vec{a} = (x_1, y_1)\) 和 \(\vec{b} = (x_2, y_2)\) 的点积为 \(\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2\)。

6. 向量的方向角：向量 \(\vec{a}\) 与正方向的夹角 \(\theta\) 满足 \(\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\)。

简单试题

1. 已知向量 \(\vec{a} = (3, 4)\) 和 \(\vec{b} = (1, 2)\)，求 \(\vec{a} + \vec{b}\) 和 \(\vec{a} - \vec{b}\)。

解答：\(\vec{a} + \vec{b} = (3+1, 4+2) = (4, 6)\)，\(\vec{a} - \vec{b} = (3-1, 4-2) = (2, 2)\)。

2. 若向量 \(\vec{a} = (2, 3)\)，计算其模长 \(|\vec{a}|\)。

解答：\(|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\)。

3. 给定向量 \(\vec{a} = (1, 0)\) 和 \(\vec{b} = (0, 1)\)，求它们的点积。

解答：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 0 + 0 \times 1 = 0\)。

以上题目旨在帮助大家熟悉平面向量的基本操作。通过这些练习，可以加深对平面向量的理解，并为进一步的学习打下坚实的基础。

希望本文能为大家提供一定的帮助，祝大家学习愉快！